Some useful counterexamples regarding comonotonicity

This article gives counterexamples for some conjectures about risk orders. One is that in risky situations, diversification is always beneficial. A counterexample is provided by the Cauchy distribution, for which the sample means have the same distribution as the sample elements, meaning that insuring half the sum of two iid risks of this type is precisely equivalent to insuring one of them fully. In this case, independence and comonotonicity for these two risks are equivalent. We also show that if X, Y are iid Pareto(α, 1) with α < 1, for the valuesat-risk we have F−1 X+Y (q) > F −1 2X (q) for q large enough. This proves that a sum of iid risks might be worse than a sum of corresponding comonotonic risks in the sense of having lower values-at-risk in the far-right tail. Then comonotonicity is preferable to independence, so independence is certainly not a ‘worst case’ scenario. Finally we show that if one risk has smaller stop-loss premiums than another, this doesn’t have to mean that its cdf is above the other from a certain point on. We give an example that the sum of independent risks can have a cdf that crosses infinitely often with its comonotonic equivalent. That such a distribution exists is no surprise, but an example has never been exhibited so far. Samenvatting. Dit artikel geeft tegenvoorbeelden voor een aantal vermoedens die er leven over risicoordeningen. Een daarvan is dat in geval van risico’s, het onveranderlijk voordelig is om te diversificeren. Een tegenvoorbeeld hiervan levert de Cauchy-verdeling, waarbij het steekproefgemiddelde en de steekproefelementen dezelfde verdeling hebben. Dit houdt in dat het verzekeren van de helft van de som van twee o.o.i. risico’s precies equivalent is aan het volledig verzekeren van één ervan. In dit geval zijn comonotonie en onafhankelijkheid voor deze twee risico’s equivalent. We laten ook zien dat als X, Y o.o.i. Pareto(α, 1) kansveranderlijken zijn en α < 1, voor de VaR’s ervan er geldt dat F−1 X+Y (q) > F−1 2X (q) voor q groot genoeg. Dit laat zien dat een som van o.o.i. risico’s onaantrekkelijker kan zijn dan een som van overeenkomstige comonotone risico’s in de zin dat de laatste, diep in de rechterstaart van de verdeling, kleinere VaR’s hebben. Dan is comonotonie te verkiezen boven onafhankelijkheid, en is onafhankelijkheid geenszins een 1 Universiteit van Amsterdam 2 KU Leuven and Universiteit van Amsterdam 3 Universiteit van Amsterdam ‘worst case’ scenario. Ten slotte tonen we aan dat als een risico kleinere stop-loss premies heeft dan een ander risico, dit niet hoeft te betekenen dat de vdf ervan vanaf een zeker punt boven de andere ligt. We geven een voorbeeld dat de vdf van de som van onafhankelijke risico’s oneindig vaak kruist met die van het comonotone equivalent ervan. Dat zo’n vdf bestaat zal niemand verbazen, maar tot op heden is er nooit een tegenvoorbeeld beschreven.